Elle a été beaucoup étudiée en psychologie et en sciences de l’éducation, mais il y a une multitude de problèmes, et l'approche de l'enfant face à ces problèmes dépend en partie de leur nature.
Les problèmes à structure additive
Il existe différents types de problèmes additifs ; ces grandes catégories ne sont pas réductibles à l’opération mise en jeu : ces problèmes diffèrent plutôt par le caractère sémantique des éléments impliqués et des relations qu’ils entretiennent.
Pour résoudre un problème arithmétique, il faut qu’on ait des connaissances sur les notions de combinaisons, de comparaison, d’accroissement et de diminution.
Riley, Greeno et Meller (1983) ont pris en compte:
- Les relations sémantiques décrivant un type donné de situation
- L’opération mise en jeu
- L’élément inconnu
3 grands types de problèmes se dégagent de cette classification :
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Des problèmes de changements__
Ils impliquent tous au moins une transformation corporelle appliquée à l’état initial pour aboutir à un état final. L’inconnue concerne l’état final (changements 1 & 2), la transformation (3 & 4) ou l’état initial (5 & 6). La transformation peut être additive (1,3,5) ou soustractive (2,3,4) (document à venir)
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Des problèmes de type Combinaison__
Ils concernent des situations statiques et non des transformations. L’inconnue peut concerner le total (combinaison 1) ou l’une des parties (combinaison 2).
Des problèmes de comparaison
Il s’agit également de comparer des situations statiques, à l’aide de formulations comme « plus que, moins de,… ». L’inconnue peut concerner la différence entre deux quantités (1 & 2), l’ensemble comparé (3 & 4) ou le référent ((5 & 6).
La validité écologique de cette classification a été attestée, car :
- les problèmes de même type sont réussis dans le même laps de temps (lorsqu'un commence à être réussis, les autres, le sont rapidement).
- Les types de problèmes différents donnent lieu à des taux de réussite différents chez les sujets d’un même âge ou du même niveau scolaire : à la maternelle, les problèmes de changement sont mieux réussis que ceux de comparaison.
Carpenter et Moser (1982-1984) pensent que les enfants de CP appliquent différentes stratégies pour résoudre des problèmes. Au CE2, les 2/3 des réponses font appel à la récupération de fait numériques en mémoire à long terme.
De plus, les stratégies des enfants pour résoudre des problèmes soustractifs sont fortement influencées par les caractéristiques sémantiques de l’énoncé. Par exemple, les problèmes de changement 2 induisent très fréquemment une procédure consistant à fabriquer l’ensemble le plus grand, à lui enlever le plus petit et compter ce qui reste. Par comptage (lorsque cette procédure est internalisée), cela revient à « compter en arrière jusqu’à ».
Vergnaud (1982) établit une classification purement conceptuelle : il ne considère ni l’action, ni l’opération à effectuer. A partir de là, il définit 6 catégories de relations en fonction de 3 concepts principaux : la mesure, les transformations temporelles et les relations statiques.
Les problèmes à structure multiplicative
Vergnaud (1982-1991) définit 3 formes de relation, dont l’isomorphie de structure, qui consiste en une proportion simple et directe entre deux mesures et deux quantités. Elle se rencontre dans les problème de :
- Partage égal : 12 gâteaux à partager équitablement en 3
- Vitesse constante (une conduite à 120 Km/h : combien de temps pour parcourir 360 Km ?) ou densité constante, sur une ligne, une surface ou un volume
- Produit de mesure (consiste en la composition de deux mesures dans une troisième (problème concernant le calcul d’aire ou de volume).
- Proportion multiples : très proche de la structure de produit de mesure du points de vue des relations arithmétiques. Ici, une mesure en quantité est proportionnelle à deux mesures différentes en quantité indépendantes (par exemple, ce que l’on a dépensé en fonction du nombre de jour et de personnes.
Greer (1992) : dans les situations non communicatives, le multiplicateur et la multiplicande peuvent être distingués l’un de l’autre (exemple : 3 enfants (multiplicateur) ont 3 oranges (multiplicande) chacun). Le fait qu'ils le soient ou non a une influence sur la façon dont l'enfant va comprendre le problème.
Deux types de division peuvent être distinguées :
- Les divisions par les multiplicateurs (exemple : 12 oranges partagées équitablement entre 3 enfants)
- La division par multiplicande (si on a 12 oranges et qu’on en donne 4 par enfants, combien y a-t-il d’enfants ?)
Tous ces facteurs jouent sur la compréhension de l'énoncé par l'enfant.
Commentaires
Pouvez vous me résoudre ces 2 problèmes . Merci
EXERCICE 4 (noté sur 3)
Un voyageur se déplace d'une ville A à une ville B à la vitesse de
64 km/h puis retourne à la ville A à la vitesse de 80 km/h.
Sachant que le voyage a duré 6 h 30 mn, qu'il s'est arrêté 2 h en B,
Quelle est la distance qui sépare les deux villes ?
EXERCICE 5 (noté sur 4)
Soixante personnes sont allées au cinéma.
La recette globale était de 216 .
Sachant qu'une place "enfant" coûte 3 et une place "adulte" 5 ,
Combien d'adultes, combien d'enfants ont assisté à cette séance ?
Je n'ai certes pas l'intention de perdre mon temps déjà bien court à résoudre des exercices ^^ et c'est là un point formidable que le psy moyen connait : tous les gens fonctionnent de la même manière, y compris, celui qui a créé l'exercice : il s'est arrangé pour que les calculs soient simples pour lui, et donc, à choisi des chiffres potentiellement ronds, ce qui, d'un point de vue psychologique, permet d'envisager des heuristiques de résolution astucieuses :
- on peut par exemple imaginer que le créateur de l'exercice s'est débrouillé pour tomber sur des chiffres ronds, donc sans développer énormément de lignes de calculs, on peut imaginer que les 64 km/h et les 80 km/h ont bien plus de choses en commun qu'on ne le verrait au premier abord : le trajet dure 4h30, 64 et 80 sont des multiples de 8, voire de 16... alors, sans calcul, je peux estimer, simplement en imaginant que le créateur de l'exercice fut un feignant, que la solution est 160 km... Les mathématiciens sont siiiii prévisibles ^^
Après vérification, c'est le résultat... 160 km à 80 km/h, ça fait deux heures. et 160 km à 64 km/h, ça fait 2h30, le total faisant 4h30, tssss... Comme quoi, faites de la psycho, vous pourrez deviner les résultats d'exercices sans avoir à faire de calculs... (méthode non rigoureuse, hein... Par calcul, suffit de poser x=la distance en question et d'en faire un beau système d'équation - et en ce cas, si tu es un élève, tu n'y couperas pas, c'est ton travail de savoir faire ça ;) )
En tout cas, cela a le mérite de montrer qu'il existe plus d'une façon de résoudre des problèmes, du fait qu'ils sont conçus par des humains, rien n'empêche, même si ce n'est pas rigoureux, de présupposer la manière dont le créateur a fait son test, cela simplifie en plusieurs cas : la majorité des problèmes sont simples, seule la forme qu'on leur donne rend complexe :)
Pour le deuxième, idem, un ptit système d'équation x+y=60 et 3x+5y=216, c'est vraiment pas difficile à résoudre ;) Bon courage!
Et pour les suivants... désolé, je ne suis pas là pour résoudre vos problèmes de math, tout d'même ^^